為贏得2010年上海世博會(huì)的制高點(diǎn),某公司最近進(jìn)行了世博特許產(chǎn)品的市場(chǎng)分析,調(diào)查顯示,該產(chǎn)品每件成本9元,售價(jià)為30元,每天能賣(mài)出432件,該公司可以根據(jù)情況可變化價(jià)格x(-30≤x≤54)元出售產(chǎn)品;若降低價(jià)格,則銷(xiāo)售量增加,且每天多賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值|x|的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2元時(shí),每天多賣(mài)出24件;若提高價(jià)格,則銷(xiāo)售減少,減少的件數(shù)與提高價(jià)格x成正比,每提價(jià)1元?jiǎng)t每天少賣(mài)8件,且僅在提價(jià)銷(xiāo)售時(shí)每件產(chǎn)品被世博管委會(huì)加收1元的管理費(fèi).
(Ⅰ)試將每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y表示為價(jià)格變化值x的函數(shù);
(Ⅱ)試問(wèn)如何定價(jià)才能使產(chǎn)品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?
【答案】分析:(1)根據(jù)“每天多賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值|x|的平方成正比”和“商品單價(jià)降低2元時(shí),每天多賣(mài)出24件”,建立降價(jià)多賣(mài)產(chǎn)品的模型,再根據(jù)銷(xiāo)售利潤(rùn)的構(gòu)成,建立利潤(rùn)函數(shù)模型.當(dāng)提價(jià)x時(shí),由“銷(xiāo)售減少,減少的件數(shù)與提高價(jià)格x成正比,每提價(jià)1元?jiǎng)t每天少賣(mài)8件,”,建立少賣(mài)產(chǎn)品的模型,再由銷(xiāo)售利潤(rùn)的構(gòu)成建立利潤(rùn)函數(shù)模型,構(gòu)造分段函數(shù).
(2)根據(jù)(1)按分段函數(shù)求最值來(lái)完成,思路是求每一段的最大值,然后從中取最大的作為原函數(shù)的最大值.
解答:解:(1)當(dāng)降價(jià)|x|時(shí),則多賣(mài)產(chǎn)品kx2,由已知得:24=kx2=4k⇒k=6,
所以f(x)=(30+x-9)(432+6x2)=6(x3+21x2+72x+1512)(3分)
當(dāng)提價(jià)x時(shí),f(x)=(30+x-10)•(432-8x)=-8x2+272x+8640,(2分)
所以(6分)
(2)當(dāng)降價(jià)銷(xiāo)售時(shí),
f(x)=6(x3+21x2+72x+1512),
f'(x)=18(x2+14x+24)=18(x+12)(x+2)=0⇒x1=-12,x2=-2,
所以有
即f(x)在x=-12處取得唯一極大值f(-12)=11664,
∴f(x)max=11664,(9分)
當(dāng)提價(jià)銷(xiāo)售時(shí),f(x)=-8x2+272x+8640=-8(x2-34x)+8640=-8[(x-17)2]+10952≤10952<11664(11分)
所以當(dāng)定價(jià)18元時(shí),銷(xiāo)售額最大.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用,主要涉及分段函數(shù)的求法,導(dǎo)數(shù)法,二次函數(shù)法求最值及分類(lèi)討論思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

為贏得2010年上海世博會(huì)的制高點(diǎn),某公司最近進(jìn)行了世博特許產(chǎn)品的市場(chǎng)分析,調(diào)查顯示,該產(chǎn)品每件成本9元,售價(jià)為30元,每天能賣(mài)出432件,該公司可以根據(jù)情況可變化價(jià)格x(-30≤x≤54)元出售產(chǎn)品;若降低價(jià)格,則銷(xiāo)售量增加,且每天多賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值|x|的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2元時(shí),每天多賣(mài)出24件;若提高價(jià)格,則銷(xiāo)售減少,減少的件數(shù)與提高價(jià)格x成正比,每提價(jià)1元?jiǎng)t每天少賣(mài)8件,且僅在提價(jià)銷(xiāo)售時(shí)每件產(chǎn)品被世博管委會(huì)加收1元的管理費(fèi).
(Ⅰ)試將每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y表示為價(jià)格變化值x的函數(shù);
(Ⅱ)試問(wèn)如何定價(jià)才能使產(chǎn)品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆江蘇省高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿(mǎn)分14分)為贏得2010年上海世博會(huì)的制高點(diǎn),某商家最近進(jìn)行了新科技產(chǎn)品的市場(chǎng)分析,調(diào)查顯示,新產(chǎn)品每件成本9萬(wàn)元,售價(jià)為30萬(wàn)元,每星期賣(mài)出432件,如果降低價(jià)格,銷(xiāo)售量可以增加,且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值(單位:萬(wàn)元, )的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2萬(wàn)元時(shí),一星期多賣(mài)出24件.

(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成的函數(shù);

(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年湖北省高三第三次模擬考試(理科)數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分12分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)為贏得2010年上海世博會(huì)的制高點(diǎn),某公司最近進(jìn)行了世博特許產(chǎn)品的市場(chǎng)分析,調(diào)查顯示,該產(chǎn)品每件成本9元,售價(jià)為30元,每天能賣(mài)出432件,該公司可以根據(jù)情況可變化價(jià)格)元出售產(chǎn)品;若降低價(jià)格,則銷(xiāo)售量增加,且每天多賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2元時(shí),每天多賣(mài)出24件;若提高價(jià)格,則銷(xiāo)售減少,減少的件數(shù)與提高價(jià)格成正比,每提價(jià)1元?jiǎng)t每天少賣(mài)8件,且僅在提價(jià)銷(xiāo)售時(shí)每件產(chǎn)品被世博管委會(huì)加收1元的管理費(fèi)。

(Ⅰ)試將每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)表示為價(jià)格變化值的函數(shù);

(Ⅱ)試問(wèn)如何定價(jià)才能使產(chǎn)品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:湖北省黃岡中學(xué)2010年高三年級(jí)第二次模擬考試(理) 題型:解答題

 (注意:在試題卷上作答無(wú)效)為贏得2010年上海世博會(huì)的制高點(diǎn),某公司最近進(jìn)行了世博特許產(chǎn)品的市場(chǎng)分析,調(diào)查顯示,該產(chǎn)品每件成本9元,售價(jià)為30元,每天能賣(mài)出432件,該公司可以根據(jù)情況可變化價(jià)格)元出售產(chǎn)品;若降低價(jià)格,則銷(xiāo)售量增加,且每天多賣(mài)出的產(chǎn)品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2元時(shí),每天多賣(mài)出24件;若提高價(jià)格,則銷(xiāo)售減少,減少的件數(shù)與提高價(jià)格成正比,每提價(jià)1元?jiǎng)t每天少賣(mài)8件,且僅在提價(jià)銷(xiāo)售時(shí)每件產(chǎn)品被世博管委會(huì)加收1元的管理費(fèi).

   (Ⅰ)試將每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)表示為價(jià)格變化值的函數(shù);

   (Ⅱ)試問(wèn)如何定價(jià)才能使產(chǎn)品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?

 

 

 

 

 

 

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案