Question

已知函數(shù)f（x）=ax+b，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時(shí)，值域?yàn)閇a₂，b₂]，當(dāng)x∈[a₂，b₂]時(shí)，值域?yàn)閇a₃，b₃]，…當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，值域?yàn)閇a_n，b_n]，…其中a，b為常數(shù)，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a＞0，a≠1，要使數(shù)列{b_n}是公比不為1的等比數(shù)列，求b的值；并求此時(shí)[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]；
（3）若a＞0，設(shè)數(shù)列{a_n}與{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n和T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）的值．

Answer 1

（1）a=1時(shí)，f（x）=x+b單調(diào)遞增，因此

an=an-1+b bn=bn-1+b

…..…．（3分）∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b．…．（5分）
（2）∵a＞0，∴f（x）遞增，∴b_n=ab_n-1+b，∵

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

，由條件

bn

bn-1

為常數(shù)，∴b=0，…．（7分）
這時(shí){b_n}是公比為a的等比數(shù)列，b_n=a^n-1，∵b=0，a_n=aa_n-1，而a₁=0，∴a_n=0．∴[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]=[0，1]∪[0，a]∪…∪[0，a^n-1]，…..（9分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，上式=[0，1]；…．…．（10分）
當(dāng)a＞1時(shí)，上式=[0，a^n-1]．…．（11分）
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，a_n=a•a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b，∴b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），∴{b_n-a_n}成等比數(shù)列，b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=a^n-1．…．（13分）
當(dāng)a=1時(shí)，b_n-a_n=1，∴T_n-S_n=n，∴原式=1+2+…+2008=1004×2009=2017036．…．（15分）
當(dāng)a≠1時(shí)，Tn-Sn=

1-an

1-a

=

1

1-a

-

an

1-a

，…..（16分）∴原式=

2008

1-a

-

1

1-a

•

a(1-a2008)

1-a

=

2008

1-a

-

a(1-a2008)

(1-a)2

．…．（18分）