Question

已知定義在集合（0，+∞）的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0 求證：
（1）對(duì)任意的x∈（0，+∞），有f（

1

x

）=-f（x）；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法求出f（1）的值，然后利用1=

1

x

•x，通過表達(dá)式求出結(jié)果即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），
∴x=y=1時(shí)，f（1•1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
∵1=

1

x

•x，
∴f（

1

x

•x）=f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x）；
（2）設(shè)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）．
∵x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
∴

x1

x2

＞1，又當(dāng)x＞1時(shí)有f（x）＞0
∴f（

x1

x2

）＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）函數(shù)在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，對(duì)于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點(diǎn)的函數(shù)值和證明不等式等，屬中檔題．