Question

已知動圓P過定點A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64相切，點P的軌跡為曲線C；設Q為曲線C上（不在x軸上）的動點，過點A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)λ，使

AM

•

AN

=λ

PQ

²總成立，若存在，求λ；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求△MNQ的面積S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出點P到兩定點A（-3，0）和B（3，0）距離之和等于定圓B的半徑，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設直線OQ：x=my，直線MN：x=my-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），聯(lián)立方程組

x=my-3 x2 16 + y2 7 =1

，得：（7m²+16）y²-42my-49=0，由此能求出存在符合條件的常數(shù)λ．
（Ⅲ）由MN∥OQ，知S=S_△MNQ=S_△MNO=

1

2

|OA|•|y₁-y₂|=

3

2

|y₁-y₂|，由此利用均值不等式能求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵動圓P過定點A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64相切，
∴點P到兩定點A（-3，0）和B（3，0）距離之和等于定圓B的半徑，
∴|PA|+|PB|=8，
∴點P的軌跡是以A、B為焦點，半長軸為4的橢圓，
∴曲線C的方程為：

x2

16

+

y2

7

=1．
（Ⅱ）∵Q不在x軸上，∴設直線OQ：x=my，
∵過點A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點，∴直線MN：x=my-3，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
則

AM

=(x1+3，y1)，

AN

=(x2+3，y2 )，
聯(lián)立方程組

x=my-3 x2 16 + y2 7 =1

，消去x，得：（7m²+16）y²-42my-49=0，
∴y₁+y₂=

42m

7m2+16

，y1y2=-

49

7m2+16

，
x₁x₂=（my₁-3）（my₂-3）=m²y₁y₂-3m（y₁+y₂）+9，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）-6，
∴

AM

•

AN

=（x₁+3）•（x₂+3）+y₁y

2

=x₁x₂+3（x₁+x₂）+9+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂
=-

49(m2+1)

7m2+16

，
聯(lián)立方程組

x=my x2 16 + y2 7 =1

，消去x，得y2=

112

7m2+16

，y₃為其一根，
∴

OQ

2=x32+y32=（m²+1）y32=

112(m2+1)

7m2+16

，
∵

AM

•

AN

=λ

PQ2

，∴-49=112λ，
解得λ=-

7

16

，
∴存在符合條件的常數(shù)λ，λ=-

7

16

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m²+16）y²-42my-49=0，
y₁+y₂=

42m

7m2+16

，y1y2=-

49

7m2+16

，
∵MN∥OQ，
∴S=S_△MNQ=S_△MNO=

1

2

|OA|•|y₁-y₂|=

3

2

|y₁-y₂|
=

3

2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

2

•

56 m2+1

7(m2+1)+9

=

3×28 m2+1

7(m2+1)+9

=

3×28

7 m2+1 + 9 m2+1

≤2

7

．
當且僅當m2=

2

7

時取等號，
∴所求最大值為2

7

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的直線是副產(chǎn)品存在，考查最大值的求法，是中檔題．