Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

asinxcosx+asin²x-acos²x+b，（a，b∈R）．
（1）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為3，最小值為1-

3

，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對(duì)函數(shù)關(guān)系是進(jìn)行恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步確定單調(diào)區(qū)間．
（2）對(duì)a進(jìn)行分類討論，利用單調(diào)性確定最值．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="nwm5bsg" class="MathJye">f(x)=2

3

asinxcosx+asin2x-acos2x+b
=

3

asin2x-acos2x+b=2asin(2x-

π

6

)+b．   
由于a＞0，
令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ
且a＞0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z． 
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
所以：2sin(2x-

π

4

)∈[-2，

3

]，
則當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為

3

a+b，最小值為-2a+b．
所以

3 a+b=3 -2a+b=1- 3

解得a=1，b=3-

3

．   
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為-2a+b，最小值為

3

a+b．
所以

3 a+b=1- 3 -2a+b=3

解得a=-1，b=1．   
綜上，a=1，b=3-

3

或a=-1，b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定，函數(shù)的最值，分類討論思想的應(yīng)用．