Question

己知α∈R，sinα+3cosα=

5

，則tan2α=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正切,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)求出tanα的值，再利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan2α，將tanα的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：已知等式兩邊平方得：（sinα+3cosα）²=5，即6sinαcosα+8cos²α=

6sinαcosα+8cos2α

sin2α+cos2α

=

6tanα+8

tan2α+1

=4，
整理得：（tanα-2）（2tanα+1）=0，
解得：tanα=2或tanα=-

1

2

，
當(dāng)tanα=2時(shí)，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

1-4

=-

4

3

；當(dāng)tanα=-

1

2

時(shí)，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×(- 1 2 )

1-(- 1 2 )2

=-

4

3

．
故答案為：-

4

3

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．