Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4x+b，（a∈R，b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；
（2）若b=-4a，解關(guān)于x的不等式f（x）＞-8．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的最小值得出a和b的關(guān)系式，代入f（1）中，利用基本不等式求得f（1）+2a的最小值．
（2）把問題轉(zhuǎn)化為解不等式ax²-4x-4a+8＞0，對a進(jìn)行分類討論解不等式．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）有最小值3，
∴a＞0，

4ab-16

4a

=3，
∴b=

4

a

+3，f（1）=a-4+b=a+

4

a

-1，
∴f（1）+2a=3a+

4

a

-1≥2

3a• 4 a

-1=4

3

-1．
即f（1）+2a的最小值為4

3

-1．
（2）當(dāng)b=-4a時(shí)，不等式f（x）＞-8，可化為ax²-4x-4a+8＞0，
①當(dāng)a=0時(shí)，不等式即為-4x+8＞0，x＜2，
②當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式即為（x-2）[x-（

4

a

-2）]＞0，
當(dāng)a＞1時(shí)，x＞2或x＜

4

a

-2，
當(dāng)a=1時(shí)，x≠2，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞

4

a

-2或x＜2，
③當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式即為（x-2）[x-（

4

a

-2）]，即

4

a

-2＜x＜2，
∴當(dāng)a＜0時(shí)不等式的解集為（

4

a

-2，2），
當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為（-∞，2），
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，原不等式解集為（

4

a

-2，+∞）∪（-∞，2）
當(dāng)a=1時(shí)，原不等式解集為（x|x≠2，x∈R}，
當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式解集為（2，+∞）∪（-∞，

4

a

-2）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想和函數(shù)思想．考查了學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力．