Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1且a_n-1-a_n=a_n-1a_n（n≥2，n∈N^*），則T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n-1的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：a₁=1且a_n-1-a_n=a_n-1a_n，可得

1

an

-

1

an-1

=1，數(shù)列{

1

an

}成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：∵a₁=1且a_n-1-a_n=a_n-1a_n，
∴

1

an

-

1

an-1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}成等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+（n-1）×1=n，
∴an=

1

n

．
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n-1=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=a₁-a_n
=1-

1

n

．
=

n-1

n

．
故答案為：

n-1

n

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及“裂項(xiàng)求和”，考查了變形能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．