Question

已知F是雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的一個(gè)焦點(diǎn)，過F作一條與坐標(biāo)軸不垂直，且與漸進(jìn)線也不平行的直線l，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線l′交x軸于M點(diǎn)．
（1）設(shè)F為右焦點(diǎn)，l的斜率為1，求l′的方程；
（2）試判斷

|AB|

|FM|

是否為定值，說明理由．

Answer 1

分析：（1）l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，確定線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得l′的方程；
（2）不失一般性，F(xiàn)取為（5，0）．設(shè)直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求得|AB|，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，可得線段AB的中垂線方程，從而可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而可求

|AB|

|FM|

是一個(gè)常數(shù)．

解答：解：（1）由題意得F（5，0），所以l的方程為y=x-5與雙曲線方程聯(lián)立，消元可得7x²-160x+544=0
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

80

7

，

45

7

），
∴l(xiāng)′的方程為x+y-

125

7

=0 …（5分）
（2）不失一般性，F(xiàn)取為（5，0）．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-5）（k≠0，k≠±

3

4

），A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消元可得（9-16k²）x²+160k²x-400k²-144=0
∴x₁+x₂=

-160k2

9-16k2

，x₁x₂=-

400k2+144

9-16k2

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

72(1+k2)

|9-16k2|

線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

-80k2

9-16k2

，

-45k

9-16k2

），
∴線段AB的中垂線方程為y+

45k

9-16k2

=-

1

k

（x+

80k2

9-16k2

），
∴M的坐標(biāo)為（

-125k2

9-16k2

，0）
∴|FM|=|

-125k2

9-16k2

-5|=

45(1+k2)

|9-16k2|

∴

|AB|

|FM|

=

8

5

是一個(gè)常數(shù) …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．