Question

【題目】如圖，某大型水上樂園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地米， 米，以為直徑的半圓和半圓（半圓在矩形內(nèi)部）為兩個(gè)半圓形水上主題樂園， 都建有圍墻，游客只能從線段處進(jìn)出該主題樂園.為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益，水上樂園管理部門決定沿著修建不銹鋼護(hù)欄，沿著線段修建該主題樂園大門并設(shè)置檢票口，其中分別為上的動(dòng)點(diǎn)， ，且線段與線段在圓心和連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費(fèi)用為元/米，直線部門的平均修建費(fèi)用為元/米.

（1）若米，則檢票等候區(qū)域（其中陰影部分）面積為多少平方米？

（2）試確定點(diǎn)的位置，使得修建費(fèi)用最低.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)為時(shí)，修建費(fèi)用最低.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)直線矩形交于兩點(diǎn)，則陰影部分的面積為矩形的面積減去梯形和扇形與扇形的面積．（2）設(shè)，則，故，從而可得修建費(fèi)用，利用導(dǎo)數(shù)求解，可得當(dāng)時(shí)，即， 有最小值，即修建費(fèi)用最低．

試題解析：

（1）如圖,設(shè)直線矩形交于兩點(diǎn)，連，則米， 米．

梯形的面積為平方米，

矩形的面積為平方米，

由，得扇形和扇形的面積均為平方米，

故陰影部分面積為平方米．

（2）設(shè)，則，

所以，

修建費(fèi)用，

所以，

令，得，

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

		0
		極小值

由上表可得當(dāng)時(shí)，即， 有極小值，也為最小值．

故當(dāng)為時(shí)，修建費(fèi)用最低．