Question

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在處取得最小值．

（1）求證：；

（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，令，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析可得存在使得，即，即得證；

（2）分，兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證；當(dāng)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.

（1）由題意，

令，則，知為的增函數(shù)，

因?yàn)?/span>，，

所以，存在使得，即．

所以，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，取得最小值，也就是取得最小值．

故，于是有，即，

所以有，證畢．

（2）由（1）知，的最小值為，

①當(dāng)，即時(shí)，為的增函數(shù)，

所以，

，

由（1）中，得，即．

故滿足題意．

②當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

且，即，

若時(shí)，為減函數(shù)，（*）

若時(shí)，為增函數(shù)，

所以的最小值為．

注意到時(shí)，，且此時(shí)，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

所以，即，

又

，

而，所以，即．

由于在下，恒有，所以．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以由（*）知時(shí)，為減函數(shù)，

所以，不滿足時(shí)，恒成立，故舍去．

故滿足條件．

綜上所述：的取值范圍是．