設(shè)M是含有n個(gè)正整數(shù)的集合，如果M中沒(méi)有一個(gè)元素是M中另外兩個(gè)不同元素之和，則稱(chēng)集合M是n級(jí)好集合，
（Ⅰ）判斷集合{1，3，4，7，9}是否是5級(jí)好集合，并寫(xiě)出另外一個(gè)5級(jí)好集合，滿足其最大元素不超過(guò)9；
（Ⅱ）給定正整數(shù)a，設(shè)集合M={a，a+1，a+2，…a+k}是好集合，其中k為正整數(shù)，試求k的最大值，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）對(duì)于任意n級(jí)好集合M，求集合M中最大元素的最小值（用n表示）．
分析：（I）由1+3=4∈M，可得M不是5級(jí)好集合．舉例：集合{1，3，5，7，9}是5級(jí)好集合．
（II）若a=1，則只能是M={1，2}；若a=2，則只能是{2，3，4}；若a=3，則只能是{3，4，5，6}；…；
以此類(lèi)推，可得只能是M={a，a+1，…，2a}，即可得到k的最大值．
（III）對(duì)于任意n級(jí)好集合M，求集合M中最大元素的最小值為2n-2．用反證法證明：若最大元素為2n-3，則此時(shí)M中的運(yùn)算個(gè)數(shù)至多為n-2+1=n-1＜n，故當(dāng)最大元素為2n-3時(shí)，不能取得M．即可得出．
解答：解：（I）∵1+3=4∈M，∴M不是5級(jí)好集合．
集合{1，3，5，7，9}是5級(jí)好集合．
（II）若a=1，則只能是M={1，2}；
若a=2，則只能是{2，3，4}；
若a=3，則只能是{3，4，5，6}；…；
以此類(lèi)推，只能是M={a，a+1，…，2a}，因此k的最大值為2a-a=a．
（III）對(duì)于任意n級(jí)好集合M，集合M最大元素的最小值為2n-2．
若最大元素為2n-3，將{1，2，…，2n-3}分為：
t=（2n-3），
t1=（1，2n-4），
t2=（2，2n-5），
…
tn-2=（n-2，n-1）．
則顯然t1～tn-2這n-2組中每一組至多選擇一個(gè)數(shù)，
故此時(shí)M中的運(yùn)算個(gè)數(shù)至多為n-2+1=n-1＜n，故當(dāng)最大元素為2n-3時(shí)，不能取得M．
同理可證最大元素＜2n-3時(shí)不滿足題設(shè)條件．
當(dāng)最大元素為2n-2時(shí)，取M={n-1，n，n+1，n+2，…，2n-2}．則此集合對(duì)任意n滿足題意．
綜上可知：對(duì)于任意n級(jí)好集合M，求集合M中最大元素的最小值為2n-2．
點(diǎn)評(píng)：正確理解和集合的意義及通過(guò)舉例進(jìn)行類(lèi)比推理、反證法等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個(gè)不同的子集，對(duì)于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個(gè)Ai至少含有三個(gè)元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=
0   當(dāng)i∉AJ時(shí)
1        當(dāng)i∈AJ時(shí)  
．
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請(qǐng)完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個(gè)數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為f（n），數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：cn=5an+1，證明不等式：
5cmn
-
cmcn
＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個(gè)不同的子集，對(duì)于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個(gè)Ai至少含有三個(gè)元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=數(shù)學(xué)公式．
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請(qǐng)完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個(gè)數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為f（n），數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：cn=5an+1，證明不等式：數(shù)學(xué)公式-數(shù)學(xué)公式＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年安徽省安慶一中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個(gè)不同的子集，對(duì)于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個(gè)Ai至少含有三個(gè)元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=．
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請(qǐng)完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個(gè)數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為f（n），數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：cn=5an+1，證明不等式：-＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
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