Question

5．已知a∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-{a}^{-2}}{{2}^{x}+1}$為奇函數(shù)．
（1）實數(shù)a的值；
（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由f（x）為奇函數(shù)，知f（0）=0，解得a=1，再驗證即可；
（2）直接用單調(diào)性的定義作差證明，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0，
即$\frac{a•2^0-{a}^{-2}}{2^0+1}$=0，解得a=1，
所以，f（x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$，對f（x）的奇偶性驗證如下：
f（x）+f（-x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$+$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$+$\frac{1-2^x}{1+2^x}$=0，
即a=1時，f（x）為奇函數(shù)，符合題意；
（2）f（x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$=1-$\frac{2}{2^x+1}$為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，證明過程如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因為，x₁＜x₂，所以，${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎題．