Question

1．已知a＞0，b＞0，若x=min（1，a，$\frac{{a}^{2}+^{2}}$），則a，b變化時，x的最大值為$\frac{1+\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 若x=min（1，a，$\frac{{a}^{2}+^{2}}$），則x≤1，且x≤a，且x≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}$，由不等式的可加性和基本不等式，即可得到x的最大值．

解答 解：若x=min（1，a，$\frac{{a}^{2}+^{2}}$），
則x≤1，且x≤a，且x≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}$，
即有3x≤1+a+$\frac{{a}^{2}+^{2}}$≤1+a+$\frac{2ab}$
=1+a+$\frac{1}{2a}$，
由1+a+$\frac{1}{2a}$≥1+2$\sqrt{a•\frac{1}{2a}}$=1+$\sqrt{2}$．
即有x≤$\frac{1+\sqrt{2}}{3}$．（當且僅當a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取得等號）
故答案為：$\frac{1+\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．