Question

設(shè)a＞0，b＞0，則下列不等式中正確的有幾個(gè)（　�。�
（1）a²+1＞a；
（2）（a+

1

a

）（b+

1

b

）≥4；
（3）（a+b）（

1

a

+

1

b

）≥4；
（4）a²+9＞6a；
（5）a²+1+

1

a2+1

＞2．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）由于a＞0，利用基本不等式即可判斷（1）正確；
（2）將（a+

1

a

）（b+

1

b

）展開(kāi)，利用基本不等式可判斷（2）正確；同理可判斷（3）正確；
（4）a²+9-6a=（a-3）²≥0，可判斷（4）錯(cuò)誤；
（5）a²+1+

1

a2+1

≥2，等號(hào)在a=0時(shí)成立，但a＞0，可判斷（5）正確；

解答：解：∵a＞0，b＞0，
∴a²+1≥2a＞a，
∴①正確；
（a+

1

a

）（b+

1

b

）=（ab+

1

ab

）+（

b

a

+

a

b

）≥2+2=4，等號(hào)在a=b時(shí)成立，
∴②正確；
（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥4．等號(hào)在a=b時(shí)成立，
∴③正確；
∵a²+9-6a=（a-3）²≥0，
∴a²+9≥6a．等號(hào)在a=3時(shí)成立，
∴④錯(cuò)誤；
a²+1+

1

a2+1

≥2．等號(hào)在a=0時(shí)成立，但a＞0，
∴a²+1+

1

a2+1

＞2，
∴⑤正確．
故正確的不等式有4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，應(yīng)用基本不等時(shí)，“一正，二定，三等”缺一不可，屬于中檔題．