Question

15．已知函數(shù)f（x）=-2x²+22x，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（n，S_n）（n∈N₊）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（2）存在k∈N₊，使得$\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}+…+\frac{S_n}{n}＜k$對任意n∈N^*恒成立，求出k的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過將點P_n（n，S_n）（n∈N₊）代入f（x）=-2x²+22x可知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-2n²+22n，利用a_n+1=S_n+1-S_n可知a_n+1=-4（n+1）+24，進而可知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=-4n+24；
（2）通過S_n=-2n²+22n可知$\frac{{S}_{n}}{n}$=-2n+22，進而可知$\frac{{S}_{1}}{1}$+$\frac{{S}_{2}}{2}$+…+$\frac{{S}_{11}}{11}$＜k，進而計算可得結論．

解答 解：（1）∵點P_n（n，S_n）（n∈N₊）均在函數(shù)y=f（x）=-2x²+22x的圖象上，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-2n²+22n，
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=-2（n+1）²+22（n+1）+2n²-22n
=-4n+20
=-4（n+1）+24，
又∵a₁=-2+22=20滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=-4n+24；
（2）∵S_n=-2n²+22n，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=-2n+22，
∴當n=11時$\frac{{S}_{n}}{n}$=0，當n＞11時$\frac{{S}_{n}}{n}$＜0，當n＜11時$\frac{{S}_{n}}{n}$＞0，
又∵$\frac{{S}_{1}}{1}$+$\frac{{S}_{2}}{2}$+…+$\frac{{S}_{11}}{11}$=-2（1+2+…+11）+22×11
=-2×$\frac{11×12}{2}$+22×11
=110，
∴k的最小值為111．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．