Question

已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)橢圓頂點(diǎn)B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，求k²的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，可求a，c結(jié)合b²=a²-c²=1即可求b，進(jìn)而可求橢圓方程
（Ⅱ）由（Ⅰ）得過(guò)B點(diǎn)的直線為y=kx+1，聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓方程可求D的坐標(biāo)，及k的取值范圍，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1
，解方程可求
解答：解：（Ⅰ）由已知，．…（2分）
解得，…（4分）
所以b²=a²-c²=1，
橢圓的方程為．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得過(guò)B點(diǎn)的直線為y=kx+1，
由得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以，所以，…（8分）
依題意k≠0，．
因?yàn)閨BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
當(dāng)y_D＞0時(shí)，y_D²-y_D+1=0，無(wú)解，…（11分）
當(dāng)y_D＜0時(shí)，y_D²-y_D-1=0，解得，…（12分）
所以，解得，
所以，當(dāng)|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列時(shí)，．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，及等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于綜合性試題