Question

【題目】（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？

（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）長和寬都是10時，它的周長最短，最短周長為40；（2）長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81

【解析】

（1）方法一，設長和寬兩個變量，然后利用基本不等式求得周長的最小值，以及此時長、寬分別是多少.方法二，設長為，寬為，然后利用基本不等式求得周長的最小值，以及此時長、寬分別是多少.

（2）方法一，設長和寬兩個變量，然后利用基本不等式求得面積的最大值，以及此時長、寬分別是多少.方法二，設長為，寬為，然后利用基本不等式求得面積的最大值，以及此時長、寬分別是多少.

法一：（1）設矩形的長與寬分別為x與y，依題意得．

因為，所以，所以．

當且僅當時，等號成立，由可知此時．

因此，當矩形的長和寬都是10時，它的周長最短，最短周長為40．

（2）設矩形的長與寬分別為x與y，依題意得，即．

因為，所以，因此，即．當且僅當時，等號成立，

由可知此時．因此，當矩形的長和寬都是9時，它的面積最大，最大面積為81．

法二：也可用如下方法求最值：

（1）設矩形的長為x，則寬為，則矩形的周長．

當且僅當，即時，等號成立．

（2）設矩形的長為x，則寬為，則矩形的面積．

當且僅當，即時，等號成立．