【題目】已知橢圓:
的離心率
,過橢圓的上頂點(diǎn)
和右頂點(diǎn)
的直線與原點(diǎn)
的距離為
,
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),使得以線段
為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)
?若存在,求出直線
方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)
,或
.
【解析】試題分析:(1)由題意,根據(jù)離心率定義得到與
的關(guān)系式,再由點(diǎn)
求出直線
的方程,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,得到
與
的關(guān)系式,再結(jié)合
,從而得出橢圓方程;(2)根據(jù)題意,可將直線
斜率存在與否進(jìn)行分類討論,由“線段
為直徑”,得
,再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,從而解決問題.
試題解析:(1)由已知得,因?yàn)檫^橢圓的上頂點(diǎn)
和右頂點(diǎn)
的直線與原點(diǎn)的距離為
,所以
,解得
故所求橢圓的方程:
(2)橢圓左焦點(diǎn)
,
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線
與橢圓
交于
兩點(diǎn),顯然不存在滿足條件的直線.………6分
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線
聯(lián)立,消
得,
由于直線經(jīng)過橢圓
左焦點(diǎn),所以直線
必定與橢圓
有兩個(gè)交點(diǎn),
恒成立
設(shè)則
,
若以為直徑的圓過
點(diǎn),則
,即
(*)
而,代入(*)式得,
即,解得
,
即或
.
所以存在或
使得以線段MN為直徑的圓過原點(diǎn)
.
故所求的直線方程為,或
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 =l (a>b>0)的焦距為2,離心率為
,橢圓的右頂點(diǎn)為A.
(1)求該橢圓的方程:
(2)過點(diǎn)D( ,﹣
)作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,求證:直線AP,AQ的
斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,
底面
,
,過點(diǎn)
的平面與棱
,
,
分別交于點(diǎn)
,
,
(
,
,
三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處).
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)若平面
,求
的值;
(Ⅲ)直線是否可能與平面
平行?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某工廠和
兩車間工人掌握某技術(shù)情況,現(xiàn)從這兩車間工人中分別抽查
名和
名工人,經(jīng)測試,將這
名工人的測試成績編成的莖葉圖。若成績在
以上(包括
)定義為“良好”,成績在
以下定義為“合格”。已知
車間工人的成績的平均數(shù)為
,
車間工人的成績的中位數(shù)為
.
(1)求,
的值;
(2)求車間工人的成績的方差;
(3)在這名工人中,用分層抽樣的方法從 “良好”和“及格”中抽取
人,再從這
人中選
人,求至少有一人為“良好”的概率。
(參考公式:方差)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
經(jīng)過
,且橢圓
的離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)斜率存在的直線與橢圓
交于
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),
,且
與圓心為
的定圓
相切.直線
:
(
)與圓
交于
兩點(diǎn),
.求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判,設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為 ,各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立,第1局甲當(dāng)裁判.
(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是平行四邊形,
平面
,點(diǎn)
,
分別為
,
的中點(diǎn),且
,
.
(1)證明: 平面
;
(2)設(shè)直線與平面
所成角為
,當(dāng)
在
內(nèi)變化時(shí),求二面角
的取值范圍.
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