Question

【題目】已知橢圓:的離心率，過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為，

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)與橢圓交于,兩點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在,求出直線方程；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），或.

【解析】試題分析：（1）由題意，根據(jù)離心率定義得到與的關(guān)系式，再由點(diǎn)求出直線的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，得到與的關(guān)系式，再結(jié)合，從而得出橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可將直線斜率存在與否進(jìn)行分類討論，由“線段為直徑”，得，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，從而解決問題.

試題解析：（1）由已知得，因?yàn)檫^橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為，所以 ，解得

故所求橢圓的方程:

（2）橢圓左焦點(diǎn)，

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，顯然不存在滿足條件的直線.………6分

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線

聯(lián)立，消得，

由于直線經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)，所以直線必定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，恒成立

設(shè)則，

若以為直徑的圓過點(diǎn)，則，即 (*)

而，代入(*)式得，

即，解得，

即或．

所以存在或使得以線段MN為直徑的圓過原點(diǎn)．

故所求的直線方程為，或.