Question

已知數(shù)列{a_n}{b_n}的每一項(xiàng)都是正數(shù)，a₁=4，b₁=8且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，a_n，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，b₂；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意得到2b₁=a₁+a₂，a22=b1b2，代入已知可得a₂，b₂的值；
（Ⅱ）由已知得2b_n=a_n+a_n+1，an+12=bnbn+1，進(jìn)一步得到當(dāng)n≥2時(shí)an=

bn-1bn

，三式聯(lián)立即可得到數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)后可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合an=

bn-1bn

得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入

1

an-1

并整理，放大后列項(xiàng)，代入

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

證得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，a_n，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，
得：2b₁=a₁+a₂，a22=b1b2，
∵a₁=4，b₁=8，
∴a₂=2b₁-a₁=12，
b2=

a22

b1

=18；
（Ⅱ）∵a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，
∴2b_n=a_n+a_n+1…①．
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，
∴an+12=bnbn+1，
∵數(shù)列{a_n}，{b_n}的每一項(xiàng)都是正數(shù)，
∴an+1=

bnbn+1

…②．
于是當(dāng)n≥2時(shí)，an=

bn-1bn

…③．
將②、③代入①式，可得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
因此數(shù)列{

bn

}是首項(xiàng)為2

2

，公差為

2

的等差數(shù)列．
∴

bn

=2

2

+

2

（n-1）=

2

(n+1)，
則bn=2(n+1)2．
由③式，可得當(dāng)n≥2時(shí)，an=

bn-1bn

=2n(n+1)．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4，滿足該式子，
∴對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n=2n（n+1）；
（Ⅲ）證明：由（2）可知，所證明的不等式為

1

3

+

1

11

+

1

23

+…+

1

2n2+2n-1

＜

2

3

．
∵

1

2n2+2n-1

=

1

2

1

n2+n- 1 2

＜

1

2

1

n2+n-2

=

1

2

1

(n-1)(n+2)

=

1

6

(

1

n-1

-

1

n+2

)  （n≥2），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

1

3

+

1

6

(

1

1

-

1

4

+

1

2

-

1

5

+

1

3

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+2

)＜

1

3

+

1

6

(1+

1

2

+

1

3

)=

23

36

＜

2

3

．
當(dāng)n=1時(shí)，

1

3

＜

2

3

．
綜上所述，對(duì)一切正整數(shù)n，有

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明不等式，屬難題．