Question

設(shè)二次函數(shù)y=f（x） 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），且f（-1）=3．
（1）求f（x） 的解析式；
（2）設(shè)區(qū)間A=[1，m]，若x∈A時(shí)，恒有f（x）∈A，求m 的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意，設(shè)f（x）=a（x-1）²+1（a≠0），…（3分）
由（-1）=a（-1-1）²+1=3，解得a=

1

2

，…（6分）
∴f(x)=

1

2

(x-1)2+1．    …（7分）
（2）由（1）知，f(x)=

1

2

(x-1)2+1 在[1，m]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈A時(shí)，f（x）_min=f（1）=1，f(x)max=f(m)=

1

2

(m-1)2+1．…（9分）
若x∈A時(shí)，恒有f（x）∈A，則f(m)=

1

2

(m-1)2+1≤m，…（11分）
∴m²-4m+3≤0，解得1≤m≤3 …（13分）
又m＞1，∴m 的取值范圍是（1，3]．            …（14分）