Question

已知a，b為實數(shù)，a＞2，函數(shù)，若．
（1）求實數(shù)a，b；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e²]上的取值范圍；
（3）若實數(shù)c、d滿足c≥d，cd=1，求f（c）+f（d）的最小值．

Answer 1

解：（1）由．
得：，
因為a＞2，所以，，解得：a=e，b=1．
（2）由（1）知，，
令，則，
當x∈[1，e²]時g^′（x）＞0恒成立，
所以，g（x）在[1，e²]上為增函數(shù)，
所以g（x）_min=g（1）=-e，．
所以，，
則函數(shù)f（x）在[1，e²]上的取值范圍是[1，e+1]．
（3）由c≥d，cd=1，得e≥1，
所以lnc≥0，ce≥0，
若1≤c＜e，
+2
===2e+2．
若c=e，
+2
=e²+3．
若c＞e，
+2
=
=，
函數(shù)為（e，+∞）上的增函數(shù)，
所以，=e²+3．
因為e²+3≥2e+2，
所以，當c=d=1時，f（c）+f（d）的最小值為2e+2．
分析：（1）把代入函數(shù)解析式得到關于a，b的方程組，求解方程組可得a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入函數(shù)解析式，由函數(shù)單調(diào)性求絕對值內(nèi)部的代數(shù)式的范圍，從而可求函數(shù)f（x）在[1，e²]上的取值范圍；
（3）根據(jù)c≥d，cd=1，得到c≥1，，把f（c）+f（d）的表達式用含有c的代數(shù)式表示，然后根據(jù)c的不同取值范圍，利用基本不等式求f（c）+f（d）的最小值，最后得出要求的結(jié)論．
點評：本題考查了利用代入法求函數(shù)解析式，考查了利用函數(shù)的導函數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學思想，訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，此題屬中檔題．