Question

已知對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調遞增或單調遞減；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，
則把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=x²，x∈[0，+∞）符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）是否存在函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）在R內(nèi)為閉函數(shù)，且[1，2]為滿足條件②的區(qū)間？若存在，求出f（x），若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)閉函數(shù)的定義列出符合條件的方程組解出即可．（2）中因不知函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的系數(shù)k的符號，需分k＞0和k＜0進行討論．

解答： 解：（1）x∈[0，+∞）時，函數(shù)y=x²單調遞增，
由題意得：

a=a2 b=b2 a＜b

，解得：a=0，b=1，
∴所求閉區(qū)間為：[0，1]．
（2）假設存在，對于函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0），
當k＞0時是增函數(shù)，
由題意得：

k+b=1 2k+b=2

，解得：

k=1 b=0

∴存在函數(shù)f（x）=x．
當k＜0時是減函數(shù)，
由題意得：

k+b=2 2k+b=1

，解得：

k=-1 b=3

．
∴存在函數(shù)f（x）=-x+3．

點評：本題屬于求函數(shù)值域的問題的范圍，因給出一個新概念“閉函數(shù)”，只要正確理解了這一概念，很容易求出．