Question

12．在△ABC中，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)商的關(guān)系、兩角和的正弦公式化簡已知的式子后，利用正弦定理和等比中項的性質(zhì)證明結(jié)論；
（Ⅱ）由條件和余弦定理求出cosB的值，由平方關(guān)系求出sinB的值，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積S．

解答 證明：（Ⅰ）由已知得：sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
∴sinB（$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinC}{cosC}$）=$\frac{sinA}{cosA}•\frac{sinC}{cosC}$，
∴sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
又sinB=sin（A+C），則sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b²=ac，∴a，b，c成等比數(shù)列．
解：（Ⅱ）∵a=1，c=2，∴b²=ac=2，
由余弦定理得，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{3}{4}$，
由0＜C＜π得，$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×1×2×\frac{{\sqrt{7}}}{4}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．

點評 本題考查正弦、余弦定理的靈活應用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，等比中項的性質(zhì)等，注意三角形內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．