(2013•樂(lè)山二模)已知f(x)=-
4+
1
x2
,點(diǎn)Pn(an,-
1
an+1
)
在曲線y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an>0.
(Ⅰ)求證:數(shù)列{
1
a
2
n
}
為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
a
2
n
a
2
n+1
}
的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于任意的n∈N*,存在正整數(shù)t,使得Snt2-t-
1
2
恒成立,求最小正整數(shù)t的值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)f(x)=-
4+
1
x2
,點(diǎn)Pn(an,-
1
an+1
)
在曲線y=f(x)上,可得-
1
an+1
=-
4+
1
an2
,即
1
an+12
-
1
an2
=4,故可得{
1
a
2
n
}
是以1為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 對(duì)通項(xiàng)裂項(xiàng),再進(jìn)行求和,從而對(duì)于任意的n∈N*使得Snt2-t-
1
2
恒成立,所以只要
1
4
t2-t-
1
2
,由此可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:∵f(x)=-
4+
1
x2
,點(diǎn)Pn(an,-
1
an+1
)
在曲線y=f(x)上
-
1
an+1
=-
4+
1
an2

1
an+12
-
1
an2
=4
所以{
1
a
2
n
}
是以1為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列. 
1
an2
=4n-3
∵an>0,∴an=
1
4n-3

(Ⅱ)解:bn=
a
2
n
a
2
n+1
=
1
(4n-3)(4n+1)
=
1
4
(
1
4n-3
-
1
4n+1
)

∴Sn=b1+b2+…+bn=
1
4
(1-
1
5
+
1
5
-
1
9
+…+
1
4n-3
-
1
4n+1
)=
1
4
(1-
1
4n+1
)
1
4

對(duì)于任意的n∈N*使得Snt2-t-
1
2
恒成立,所以只要
1
4
t2-t-
1
2

t≥
3
2
t≤-
1
2
,所以存在最小的正整數(shù)t=2符合題意
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,考查恒成立問(wèn)題,選擇正確的方法是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•樂(lè)山二模)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)(其中A>0,|?|<
π
2
)的圖象如圖所示,為了得到g(x)=sin2x的圖象,則只需將f(x)的圖象( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•樂(lè)山二模)兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于aKm,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為
3
a
3
a
km.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•樂(lè)山二模)已知數(shù)列{an}有a1=a,a2=p(常數(shù)p>0),對(duì)任意的正整數(shù)n,Sn=a1+a2+…+an,并有Sn滿足Sn=
n(an-a1)
2

(I)試判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列,若是,求其通項(xiàng)公式,若不是,說(shuō)明理由;
(II)令Pn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
,Tn是數(shù)列{Pn}
的前n項(xiàng)和,求證:Tn-2n<3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•樂(lè)山二模)如圖,已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰好是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),且兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F,則該雙曲線的離心率為( 。

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