Question

已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，y都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）若關于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}，求f（2010）的值．

Answer 1

（1）證明：設-∞＜x₁＜x₂＜+∞，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁）
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）解：設f（b）=2，則f（x²-ax+5a）＜f（b）
?x²-ax+5a-b＜0?-3＜x＜2
∴
∴f（1）=2．
在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）-1
∴f（n+1）-f（n）=1．
∴數(shù)列{f（n）}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
∴f（n）=2+（n-1）×1=n+1
∴f（2010）=2011．
分析：（1）根據(jù)單調性的定義進行證明，設-∞＜x₁＜x₂＜+∞，則x₂-x₁＞0，然后根據(jù)題目條件判定f（x₂）與f（x₁）的大小，從而證得單調性；
（2）設f（b）=2，則f（x²-ax+5a）＜f（b）根據(jù)單調性可知x²-ax+5a-b＜0，然后根據(jù)不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}，求出a、b的值，得到f（1）=2，在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=n，y=1得f（n+1）-f（n）=1，即數(shù)列{f（n）}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，求出f（n）的通項公式，從而求出所求．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的單調性，以及等差數(shù)列的通項公式，同時考查了賦值法的應用和計算能力，屬于中檔題．