Question

某學校設(shè)計了一個實驗學科的考查方案：考生從6道備選題中一次性抽取3道題，規(guī)定至少正確完成其中2道題便可通過，已知6道備選題中考生甲有4道能正確完成，2道不能完成；考生乙正確完成每道題的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．
（1）求甲正確完成的題數(shù)ξ的分布列及期望；求乙正確完成的題數(shù)η的分布列及期望；
（2）請用統(tǒng)計知識分析比較兩名考生這門學科的水平．

Answer 1

解：（1）隨機變量ξ的所有可能值為1，2，3，
且P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
所以ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P

所以E（ξ）=．
隨機變量η的所有可能值為0，1，2，3，且P（η=k）=，k=0，1，2，3，
所以P（η=0）=，
P（η=1）=，
P（η=2）=，
P（η=3）=，
∴η的分布列為

η	0	1	2	3
P

所以E（η）=0×+1×+2×+=2．
（2）由于隨機變量ξ，η的期望相同，所以考慮隨機變量ξ，η的方差，
D（ξ）=（2-1）²×+（2-2）+=，
D（η）=+，
∴D（ξ）＜D（η），所以，從統(tǒng)計的角度可以判斷考生甲這門學科的水平更好．
分析：（1）隨機變量ξ的所有可能值為1，2，3，且P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（2）變量η的所有可能值為0，1，2，3，且P（η=k）=，D（ξ）=（2-1）²×+（2-2）+=，D（η）=+，所以，從統(tǒng)計的角度可以判斷考生甲這門學科的水平更好．
點評：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．