Question

對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，定義變換T₁，T₁將數(shù)列A變換成數(shù)列T₁(A)：n，a₁－1，a₂－1，…，a_n－1．

對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B：b₁，b₂，…，b_m，定義變換T₂，T₂將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列T₂(B)；

又定義．

設(shè)A₀是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令A(yù)_k+1＝T₂(T₁(A_k))(k＝0，1，2，…)．

(Ⅰ)如果數(shù)列A₀為5，3，2，寫(xiě)出數(shù)列A₁，A₂；

(Ⅱ)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S(T₁(A))＝S(A)；

(Ⅲ)證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A₀，存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時(shí)，S(A_k+1)＝S(A_k)．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：， 　　， 　　； 　　， 　　． 　　(Ⅱ)證明：設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為， 　　則為，，，，， 　　從而 　　． 　　又， 　　所以 　　 　　， 　　故． 　　(Ⅲ)證明：設(shè)是每項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列． 　　當(dāng)存在，使得時(shí)，交換數(shù)列的第項(xiàng)與第項(xiàng)得到數(shù)列， 　　則． 　　當(dāng)存在，使得時(shí)，若記數(shù)列為， 　　則． 　　所以． 　　從而對(duì)于任意給定的數(shù)列，由 　　可知． 　　又由(Ⅱ)可知，所以． 　　即對(duì)于，要么有，要么有． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/1261/0020/952a12760a5b37132159be015296a571/C/Image294.gif" width=42 height=24>是大于2的整數(shù)，所以經(jīng)過(guò)有限步后，必有． 　　即存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．