Question

已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1，若f（f（a））=

1

2

，則a=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1，可得：當(dāng)x＜0時，f（x）=f（-x）
=-（x+1）²+1．于是f（x）≤1．如圖所示．對f（a）分類討論：當(dāng)f（a）＞0時，由-（f（a）-1）²+1=

1

2

解出f（a），再解出a即可；f（a）=0直接驗證；若f（a）＜0時，同理可得．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）=f（-x）=-（x+1）²+1．
∴f（x）=

-x2+2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

，可知f（x）≤1．
如圖所示．
若f（a）＞0時，由-（f（a）-1）²+1=

1

2

，
解得f（a）=

2- 2

2

，或f（a）=

2+ 2

2

（舍去）
∴-（a-1）²+1=

2- 2

2

，或-(a+1)2+1=

2- 2

2

，
解得a=

2± 2 2

2

，a=

-2± 2 2

2

．
當(dāng)f（a）=0時，a=±2，0，但是f（0）=0≠

1

2

，應(yīng)該舍去．
若f（a）＜0時，由-（f（a）-1）²+1=

1

2

，解得f（a）=

2- 2

2

＞0，或f（a）=

2+ 2

2

＞0，舍去．
綜上可得：a=

2± 2 2

2

，a=

-2± 2 2

2

．
故答案為：

2± 2 2

2

，

-2± 2 2

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)奇偶性、復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．