Question

10．若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）$⊥\overrightarrow{a}$，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角等于$\frac{π}{4}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件得出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2，運用數(shù)量積的定義式得出cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$即可求出夾角，
根據(jù)向量的模與乘法的轉化|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，即可求解向量的模．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）$⊥\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$，
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2+4+4=10
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{10}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$；$\sqrt{10}$．

點評 本題綜合考查了平面向量的性質，運算，求解夾角，模，屬于基本題目，難度不大，計算仔細些，書寫規(guī)范即可．