Question

 

如圖所示，中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A₁、A₂在x軸上，離心率為的雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (6 , 6)，

動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0 , 1)與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，Q為線段MN的中點(diǎn).

(1) 求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 若E點(diǎn)為(1 , 0)，是否存在實(shí)數(shù)λ使 =λ，若存在，

求λ值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1) 設(shè)雙曲線為：(a >0，b >0)，

由 = 得：b² = a²，∵.∴a² = 9，b² = 12.

∴所求方程為.                             (4分)

 (2) 設(shè)M(x₁ , y₁ )，N(x₂ , y₂ )，Q(x₀ , y₀ )，l：y = kx + 1.

由得：(k²)xkx - 39 = 0. ∴得：

- < k < ，且k≠.                       (6分)

又x₁ + x₂ =，x₀ = =，y₀= kx₀+1=

∴Q(,).∴ = (-1,)， = (3 , 6).      (8分)

而 =λ，∴6(-1)- 3×=0. ∴k²+k - 2 = 0，

∴k = 1或-2.                                        (10分)

而-2(- , )，∴k =1， =(2 , 4)，∴3λ= 2，λ= ，

∴λ存在，值為，使 =λ.                     (12分)