Question

如圖（1），在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分別是線段PC、PD、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如圖（2）．
（1）求證：PA∥平面EFG．
（2）求二面角G-EF-C的大�。�
（3）在線段PB上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使PC⊥平面ADQ，若存在，請(qǐng)指出它的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證PA∥平面EFG，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面EFG內(nèi)一直線平行，取AD的中點(diǎn)M，連接FM、MG，由三角形中位線定理知FM∥PA，又FM?平面EFG，PA不屬于平面EFG，滿足定理所需條件；
（2）易證EF⊥FD，EF⊥FM，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠DFM為二面角G-EF-C的平面角．在Rt△DFM中，求出此角即可求出二面角G-EF-C的大��；
（3）當(dāng)Q為PD的中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADQ．當(dāng)Q為PD的中點(diǎn)時(shí)，連接AQ、QE、ED，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AD⊥平面PCD，再由性質(zhì)可AD⊥PC，同理可證PC⊥平面ADEQ，從而得到結(jié)論．
解答：解：（1）證明：如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接FM、MG，
由條件知EF∥DC∥MG，所以E、F、M、G四點(diǎn)共面，
又由三角形中位線定理知FM∥PA，
又FM?平面EFG，PA不屬于平面EFG，
所以PA∥平面EFG．
（2）由條件知CD⊥AD，CD⊥PD，所以CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以EF⊥FD，EF⊥FM，所以∠DFM為二面角G-EF-C的平面角．
在Rt△DFM中，DF=DM=1，所以∠DFM=45°，
所以二面角G-EF-C的大小為45°．
（3）當(dāng)Q為PD的中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADQ．證明如下：
當(dāng)Q為PD的中點(diǎn)時(shí)，連接AQ、QE、ED，則EQ∥BC∥AD，
所以A、D、E、Q四點(diǎn)共面，
因?yàn)锳D⊥CD，AD⊥PD，又CD∩PD=D，所以AD⊥平面PCD，
又PC?平面PCD，所以AD⊥PC．
因?yàn)镻D=CD=2，E為PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC，又AD∩DE=D，
所以PC⊥平面ADEQ，
所以在線段PB上存在點(diǎn)Q，使PC⊥平面ADQ，且該點(diǎn)為線段PB的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定，以及二面角的度量和線面垂直的判定等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力、推理能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．