Question

已知數(shù)列{a_n}中，點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，且a₂=2．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求a_n；
（Ⅱ）設(shè)bn=3an，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，若對任意n∈N^*，都有(n+1)(2Sn+3)≤λ•4n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把點（a_n，a_n+1）代入直線x-y+1=0，整理后得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，結(jié)合a₂=2求出首項，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（Ⅱ）把a_n代入bn=3an，得到數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求出其錢n項和，代入(n+1)(2Sn+3)≤λ•4n后分離參數(shù)λ，構(gòu)造數(shù)列cn=3(n+1)(

3

4

)n(n∈N*)，求出數(shù)列{c_n}的最大項后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，
∴a_n-a_n+1+1=0，
即a_n+1-a_n=1（n∈N^*），
又a₂=2，
∴a₁=1．
因此，數(shù)列{a_n}是公差、首項均為1的等差數(shù)列，
通項公式為a_n=n（n∈N^*）；
（Ⅱ）由bn=3an及a_n=n（n∈N*），
得bn=3n（n∈N^*），其前n項和Sn=

3×(1-3n)

1-3

=

3n+1

2

-

3

2

，
又對任意n∈N^*，都有(n+1)(2Sn+3)≤λ•4n恒成立，
即(n+1)3n+1≤λ•4n，λ≥3(n+1)(

3

4

)n恒成立．
記cn=3(n+1)(

3

4

)n(n∈N*)，
由

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，
即

3(n+1)( 3 4 )n≥3n( 3 4 )n-1 3(n+1)( 3 4 )n≥3(n+2)( 3 4 )n+1

，得2≤n≤3，
∴{c_n}的最大項為c2=c3=3×4×(

3

4

)3=

81

16

．
從而實數(shù)λ的取值范圍為[

81

16

，+∞)．

點評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了分離變量法和函數(shù)構(gòu)造法，求解數(shù)列{c_n}的最大項是解答該題的關(guān)鍵，屬難題．