Question

已知圓O：x²+y²=4和點M（1，a）．
（1）若過點M有且只有一條直線與圓O相切，求實數(shù)a的值，并求出切線方程；
（2）若a=

2

，過點M的圓的兩條弦AC、BD互相垂直，
①求證：圓心O到弦AC，BD的距離的平方和為定值；②求AC+BD的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由已知條件，點M在圓上，得1²+a²=4，可得a=±

3

，進而求出切線方程；
（2）①設點O在AC，BD上的射影分別為E，F(xiàn)，利用AC⊥BD，可得四邊形OEMF為矩形，即可證明OE²+OF²=OM²=3；②利用2（AC²+BD²）≥（AC+BD）²，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由已知條件，點M在圓上，∴1²+a²=4，∴a=±

3

．…（1分）
當a=

3

時，k_OM=

3

，k_切線=-

3

3

，此時切線方程為y-

3

=-

3

3

（x-1）；…（3分）
當a=-

3

時，k_OM=-

3

，k_切線=

3

3

，此時切線方程為y+

3

=

3

3

（x-1）…（5分）
綜上，切線方程為x+

3

y-4=0或x-

3

y-4=0．…（6分）
（2）①設點O在AC，BD上的射影分別為E，F(xiàn)，
又∵AC⊥BD，∴四邊形OEMF為矩形，
∴OE²+OF²=OM²=3  …（10分）
②由①可知，∵AC²+BD²=4（4-OE²）+4（4-OF²）=32-4 （OE²+OF²）=20，…（12分）
又∵2（AC²+BD²）≥（AC+BD）²，…（14分）
∴（AC+BD）²≤40，∴AC+BD≤2

10

．…（15分）

點評：本題考查直線和圓的方程的應用，考查圓的切線方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．