Question

某學生對函數(shù)f（x）=2xcosx進行研究，得到如下四個命題：
①函數(shù)f（x）在[-π，0]上單調(diào)遞增，在[0，π]上單調(diào)遞減；
②存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)都成立；
③（，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心；
④函數(shù)f（x）圖象關于直線x=π對稱．
其中真命題的個數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   .3
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：研究函數(shù)f（x）得單調(diào)性可知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，結合奇函數(shù)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性可判斷（1）；根據(jù)y=cosx是有界函數(shù)可判斷（2）；根據(jù)函數(shù)基本性質(zhì)：對稱性的應用可判斷（3）（4）．
解答：因為f（x）=2xcosx
所以，f（-x）=-2xcos（-x）=-2xcosx=-f（x）
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，故（1）錯誤
（2）因為|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）正確
（3）因為f（π+x）+f（π-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，所以點（π，0）不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，故（3）錯誤
（4）因為f（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，所以f（π+x）≠f（π-x），則函數(shù)y=f（x）圖象不關于直線x=π對稱，故（4）錯誤
故選A
點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系以及函數(shù)的基本性質(zhì)--對稱性的應用．屬中檔題．