Question

已知一四棱錐P-ABCD的三視圖，E是側棱PC上的動點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E點分PC為PE：EC=2：1，求點P到平面BDE的距離；
（3）若E點為PC的中點，求二面角D-AE-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）依據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，以及位置關系，直接求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）利用等體積法，即V_B-DEP=V_P-BDE，求出三棱錐B-DEP的體積和△BDE的面積，即可求得結果；
（3）點E為PC的中點，在平面DAE內(nèi)過點D作DF⊥AE于F，連接BF，說明∠DFB為二面角D-AE-B的平面角，解三角形DFB，求二面角D-AE-B的大小．
解答：解：（1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
即四棱錐P-ABCD的體積為 ．
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴，
（2）設點P到平面BDE的距離為h，
則V_B-DEP=V_P-BDE，而V_B-DEP==，
=，
∴h=；
（3）：在平面DAE內(nèi)過點D作DF⊥AE于F，連接BF．
∵AD=AB=1，，，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
從而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角．
在Rt△ADE中，，
又 ，在△DFB中，由余弦定理得
，
∴∠DGB=120°，即二面角D-AE-B的大小為120°．
點評：本題考查由三視圖求面積、體積，二面角及其度量，考查知識的靈活運用能力，計算能力，轉化思想，是中檔題．