Question

某工廠擬建一座底面為矩形、面積為200平方米且深為1米的無蓋長方體的三級污水池（如圖所示）如果池外圈四壁建造單價為每平方米400元，中間兩條隔墻建造單價為每平方米248元，池底建造單價為每平方米80元．
（1）試設(shè)計污水池底面的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價；
（2）由于受地形限制，地面的長、寬都不超過16米，試設(shè)計污水池底面的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）污水處理池的底面積一定，設(shè)長為xm，可表示出寬，從而得出總造價f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由長和寬的限制條件，得自變量x的范圍，判斷總造價函數(shù)f（x）在x的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值變化情況，求得最小值．

解答： 解：（1）設(shè)污水池總造價為y元，污水池長為xm．則寬為

200

x

m，水池外圈周壁長為2x+2•

200

x

（m），中間隔墻長2•

200

x

（m），池底面積200（m²）．
∴y=400（2x+2•

200

x

）+248•

200

x

•2+80×200=800（x+

324

x

）+16000≥1600

x• 324 x

+16000=44800．
當(dāng)且僅當(dāng)x=

324

x

，即x=18，

200

x

=

100

9

時，y_min=44800．
∴當(dāng)長為18米，寬為

100

9

米時總造價最低，最低總造價為44800元．
（2）由限制條件知

0＜x≤16 0＜ 200 x ≤16

，
∴12.5≤x≤16，
令g（x）=x+

324

x

，則函數(shù)在[12.5，16]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴x=16時，g（x）_min=16+

81

4

，∴y_min=45000．
∴當(dāng)長為16米，寬為12.5米時總造價最低，最低總造價為45000元．

點(diǎn)評：本題考查了建立函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值的能力，還考查了函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算能力，屬于中檔題．