Question

二次方程ax²-

2

bx+c=0，其中a、b、c是一鈍角三角形的三邊，且以b為最長．
①證明方程有兩個不等實根；
②證明兩個實根α，β都是正數(shù)；
③若a=c，試求|α-β|的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）證明方程有兩個不等實根，即只要驗證△＞0即可．（2）要證α，β為正數(shù)，只要證明αβ＞0，α+β＞0即可．
（3）根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關系，將|α-β|轉化為某變量的函數(shù)，再求它的變化范圍．

解答：解：①在鈍角△ABC中，b邊最長．∴-1＜cosB＜0且b2=a2+c2-2accosB，△=(-

2

b)2-4ac=2b2-4ac
=2（a²+c²-2accosB）-4ac=2（a-c）²-4accosB＞0．（其中2（a-c）²≥0且-4accosB＞0
∴方程有兩個不相等的實根．
②α+β=

2 b

a

＞0，αβ=

c

a

＞0，∴兩實根α、β都是正數(shù)．
③a=c時，

α+β= 2 b a αβ= c a =1

，∴(α-β)2=a2+β2-2αβ=(α+β)2-4αβ=

2b2

a2

-4
=

2(a2+c2-2accosB)-4a2

a2

=-4cosB，∵-1＜cosB＜0，∴0＜-4cosB＜4，因此0＜|α-β|＜2．

點評：本題是以一元二次方程作為，考查解三角形的有關定理，余弦定理作為研究三角形邊角關系的一大工具，應用廣泛．通過余弦定理溝通了三角函數(shù)與三角形有關性質，在研究較復雜的三角形問題時，常需正、余弦定理聯(lián)袂出場、密切協(xié)作，方能解決問題．