Question

（2012•武昌區(qū)模擬）已知x，a∈R，a＞1，直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則a=

e

1

e

；公共點(diǎn)坐標(biāo)是

（a，e）

．

Answer 1

分析：構(gòu)造新函數(shù)g（x）=log_ax-x，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最大值，利用直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即可求得結(jié)論．

解答：解：構(gòu)造新函數(shù)g（x）=log_ax-x，g′（x）=

1

xlna

-1，
令

1

xlna

-1=0，有x=

1

lna

，
因?yàn)閍＞1，當(dāng)0＜x＜

1

lna

時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞

1

lna

時(shí)，g′（x）＜0
所以，g（x）=log_ax-x在x=

1

lna

處有最大值g（

1

lna

），
當(dāng)g（

1

lna

）時(shí)，直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即log_a（

1

lna

）=

1

lna

，
∴l(xiāng)n（lna）=-1，lna=

1

e

，∴a=e

1

e

則y=

1

lne 1 e

=e，即公共點(diǎn)坐標(biāo)是（a，e），
故答案為：e

1

e

，（a，e）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)等知識(shí)解決問題的能力，考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力和計(jì)算能力．