Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x²+a，x∈R的圖象在點x=0處的切線為y=bx．（e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈R時，求證：f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）利用圖象在點x=0處的切線為y=bx，求出a，b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得φ（x）_min=φ（0）=0，即可證明：f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立?

f(x)

x

＞k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）_min=g（1）=0，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知

f(0)=1+a=0 f′(0)=1=b

⇒

a=-1 b=1

，f（x）=e^x-x²-1．…（4分）
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
當x∈（-∞，0）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；
當x∈（0，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，從而f（x）≥-x²+x．…（8分）
（Ⅲ）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立?

f(x)

x

＞k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g(x)=

f(x)

x

， x＞0，
∴g′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

=

x(ex-2x)-(ex-x2-1)

x2

=

(x-1)(ex-x-1)

x2

．
由（Ⅱ）可知當x∈（0，+∞）時，e^x-x-1＞0恒成立，…（10分）
令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．g（x）_min=g（1）=0．
∴k＜g（x）_min=g（1）=e-2，∴實數(shù)k的取值范圍為（-∞，e-2）．…（14分）

點評：此題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．