Question

【題目】若數列：，滿足，則稱為數列，并記.

（1）寫出所有滿足，的數列；

（2）若，，證明：數列是遞減數列的充要條件是；

（3）對任意給定的正整數，且，是否存在的數列，使得？如果存在，求出正整數滿足的條件；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；；；；（2）見解析；（3）存在，或

【解析】

（1）結合數列的性質，列出滿足題意的數列即可；

（2）結合數列的性質，分別從充分性和必要性兩方面證明結論即可；

（3）令，可得，，可求得的表達式，，討論表達式的奇偶性，可得出結論.

（1）由題意，滿足，的數列可以是：；；；；.

（2）必要性證明：

因為數列遞減，所以，即，所以是等差數列，通項公式為，所以時，.

充分性證明：

由，可得，即，

則，相加得，即，所以，

又因為，所以，即數列是遞減數列.

綜上所述，若，，則數列是遞減數列的充要條件是.

（3）設，則，

所以，

，

，

，

則

，

令，則，

因為，所以是偶數，

所以為偶數，即或時，存在滿足題意的數列，

當或時不存在.

綜上所述，當或時，存在滿足題意的數列.