Question

18．已知圓C方程為：x²+y²=4．
（1）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若$|AB|=2\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（2）過點P（1，2）作圓C的切線，設切點分別為M，N，求直線NM方程．

Answer 1

分析 （1）分直線l垂直于x軸時和直線l不垂直于x軸兩種情況，分別求出滿足$|AB|=2\sqrt{3}$的直線方程，綜合可得得答案；
（2）設切點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則可得切線PM和PN的方程，進而可得直線NM方程．

解答 解：（1）①當直線l垂直于x軸時，則此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標為$（1，\sqrt{3}）$和$（1，-\sqrt{3}）$，其距離為$2\sqrt{3}$滿足題意；
②若直線l不垂直于x軸，設其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
設圓心到此直線的距離為d，則$2\sqrt{3}=2\sqrt{4-{d^2}}$，得d=1，
∴$1=\frac{|-k+2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，$k=\frac{3}{4}$，故所求直線方程為3x-4y+5=0，
綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1．
（2）設切點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則切線PM方程為x₁x+y₁y=4，
切線PN方程為：x₂x+y₂y=4，
因為點P在直線QM上，則x₁+2y₁=4，
同理可得x₂+2y₂=4，
所以直線MN的方程為x+2y=4．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，弦長公式，直線方程，難度中檔．