3．證明：f（x）=（$\frac{1}{2}$x2+x）lnx-$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{4}$x2在（0，+∞）是減函數(shù)．

分析 先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論函數(shù)的單調(diào)性得到f′（x）≤0，從而證出結(jié)論．

解答 證明：f′（x）=（x+1）lnx-x2+1=（x+1）[lnx-x+1]，
令g（x）=lnx-x+1，則g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）max=g（1）=ln1-1+1=0，
∴f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．如圖，掛在下方的小球做上下運動，小球在t（s）時相對于平衡位置（即靜止的位置）的高度為h（單位：cm），由下列關(guān)系式確定：h=2sin（t+$\frac{π}{4}$），t∈[0，+∞）．
以橫軸表示時間，縱軸表示高度，作出這個函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖，并回答下列問題：
（1）小球在開始振動（t=0）時的位置在哪里？
（2）小球的最高、最低位置時h的值是多少？
（3）經(jīng)過多少時間小球振動一次（即周期是多少）？
（4）小球每1秒能往復(fù)振動多少次（即頻率是多少）？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．設(shè)命題p：“?x＞1，x2≥x，則其否定非p為（　�。�
A．?x＞1，x2≤xB．$?{x}_{0}＞1，{x}_{0}^{2}＞{x}_{0}$
C．$?{x}_{0}≤1，{x}_{0}^{2}≤{x}_{0}$D．$?{x}_{0}＞1，{x}_{0}^{2}＜{x}_{0}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)f（x）=3x+k•3-x為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（9${\;}^{a{x}^{2}-2x}$-1）+f（1-3ax-2）＜0只有一個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．函數(shù)f（x）=1n（2-x）-$\frac{1}{x}$的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（1，2）上單調(diào)遞增，在（-2，0），（0，1）上單調(diào)遞減．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知正方體ABCD-A1B1C1D1（如圖），A1P=A1Q=A1R（P，Q，R在正方體的棱上），求證：平面PQR∥平面C1BD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知△ABC三點A（-3，4），B（1，2），C（5，-2）．求該三角形三條中線所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．有一個正六棱錐（底面為正六邊形，側(cè)面為全等的等腰三角形的棱錐），底面邊長為3cm，高為3cm，畫出這個正六棱錐的直觀圖．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知命題p：關(guān)于x的方程log2（ax2-2x+2）=2在[1，2]內(nèi)有解；命題q：函數(shù)f（x）=m（x2-1）+x-a的圖象與x軸有交點．
（1）若p是真命題．求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

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