Question

已知雙曲線x²-y²=1的焦點與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點重合，且該橢圓的長軸長為4，M、N是橢圓上的動點．
（1）求橢圓標準方程；
（2）設動點P滿足：

OP

=

OM

+2

ON

，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，求證：存在定點F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值，并求出F₁，F(xiàn)₂的坐標；
（3）若M在第一象限，且點M，N關于原點對稱，點M在x軸的射影為A，連接NA并延長交橢圓于點B，求證：以NB為直徑的圓經(jīng)過點M．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由雙曲線方程求出雙曲線的交點坐標，求得橢圓的半焦距，結合已知橢圓的長軸長求得a，則b可求，橢圓方程可求；
（2）設出P點M點及N點的坐標，由向量關系得到P、M、N的坐標關系，再由直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

可得M、N的坐標關系，結合M、N在橢圓上可得P點的軌跡是橢圓，說明|PF₁|+|PF₂|為定值，并求出F₁，F(xiàn)₂的坐標；
（3）設出M與B的坐標，得到A，N的坐標，由題設知NA和NB的斜率相等，由此得到M與B的坐標的關系，然后結合M，B在橢圓上證出k_MN•k_MB+1=0，即k_MN•k_MB=-1，從而證得以NB為直徑的圓經(jīng)過點M．

解答： （1）解：由題設可知：雙曲線x²-y²=1的焦點為（±

2

，0），
∴橢圓中的c=

2

，
又由橢圓的長軸為4得  a=2，
故b²=a²-c²=2．
故橢圓的標準方程為：

x2

4

+

y2

2

=1；        
（2）證明：設P（x_p，y_p），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

OP

=

OM

+2

ON

可得：

xP=x1+2x2 yP=y1+2y2

 ①
由直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

可得：

y1y2

x1x2

=-

1

2

，即x₁x₂+2y₁y₂=0  ②
由①②可得：xP2+2yP2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=(x12+2y12)+4(x22+2y22)．
∵M、N是橢圓上的動點，故x12+2y12=4，x22+2y22=4．
故xP2+2yP2=20，即

xP2

20

+

yP2

10

=1；
由橢圓定義可知存在兩個定點F1(-

10

，0)，F2(

10

，0)，使得動點P到兩定點距離和為定值4

5

； 
（3）證明：設M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設可知x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0，x₁≠x₂，A（x₁，0），N（-x₁，-y₁），
由題設可知l_AB斜率存在且滿足k_NA=k_NB，∴

y1

2x1

=

y2+y1

x2+x1

．③
k_MN•k_MB+1=

y1

x1

•

y2-y1

x2-x1

+1．④
將③代入④可得：k_MN•k_MB+1=

2(y2+y1)

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

(x22+2y22)-(x12+2y12)

x22-x12

．⑤
點M，B在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1，
故k_MN•k_MB+1=

(x22+2y22)-(x12+2y12)

x22-x12

=

4-4

x22-x12

=0．
∴k_MN•k_MB+1=0，k_MN•k_MB=-1，
∴MN⊥MB．
因此以NB為直徑的圓經(jīng)過點M．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，訓練了利用向量關系求得點的坐標之間的關系，解答此題的關鍵是設出所用點的坐標，充分利用點在橢圓上這一特性，通過整體代換化簡，此類問題的解決需要學生具有較強的計算能力和邏輯推理能力，是高考試卷中的壓軸題．