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如圖，在平面直角坐標系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于、兩點，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點．設直線的斜率為．

（Ⅰ）當直線平分線段時，求的值；
（Ⅱ）當時，求點到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）求出點、的中點坐標，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直線的方程，再用點到直線的距離公式可求得點到直線的距離；
（Ⅲ）思路一:圓錐曲線題型的一個基本處理方法是設而不求,其核心是利用 ----(*).要證明,只需證明它們的斜率之積為-1. 但直接求它們的積,不好用(*)式,此時需要考慮轉化.
思路二:設,然后用表示出的坐標.這種方法要注意直線的方程應設為: ,若用點斜式,則運算量大為增加.
此類題極易在運算上出錯,需倍加小心.
試題解析：（Ⅰ）由題設知: ,所以線段的中點為,
由于直線平分線段,故直線過線段的中點,又直線過坐標原點,
所以
（Ⅱ）將直線的方程代入橢圓方程得: ,因此
于是,由此得直線的方程為:
所以點到直線即的距離
（Ⅲ）法一:設,則
由題意得:
設直線的斜率分別為,因為在直線上,所以
從而,所以:

法二:
所以直線的方程為:  代入橢圓方程得:

由韋達定理得:
所以
,所以
考點：本題考查橢圓的方程、直線的方程，中點坐標公式，點到直線的距離，兩直線垂直的判定；考查韋達定理.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別是，離心率，為橢圓上任一點，且的最大面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設斜率為的直線交橢圓于兩點，且以為直徑的圓恒過原點，若實數滿足條件，求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線的焦點為F過點的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N

（1）求的值；
（2）記直線MN的斜率為，直線AB的斜率為 證明：為定值

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，焦距為，且經過點，直線交橢圓于不同的兩點A，B.
(1)求的取值范圍；，
(2)若直線不經過點，求證：直線的斜率互為相反數.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓（）右頂點與右焦點的距離為，短軸長為.
（I）求橢圓的方程；  
（II）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若三角形的面積為，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知，橢圓C過點，兩個焦點為．
(1)求橢圓C的方程；
(2) 是橢圓C上的兩個動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經過點離心率，直線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)是經過右焦點的任一弦(不經過點)，設直線與直線相交于點，記的斜率分別為問:是否存在常數，使得若存在求的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的長軸兩端點分別為，是橢圓上的動點，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點，交于點．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點時，的面積為12，點到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數列．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知在直角坐標系中，曲線的參數方程為：（為參數），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中,直線的極坐標方程為：．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標系下的方程；
（II）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

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