Question

5．對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期．已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)镽．設(shè)f（x）單調(diào)遞增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）驗(yàn)證g（x）=x+sin$\frac{x}{3}$是以6π為周期的余弦周期函數(shù)；
（2）設(shè)a＜b，證明對(duì)任意c∈[f（a），f（b）]，存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=c；
（3）證明：“u₀為方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要條件是“u₀+T為方程cosf（x）=1在區(qū)間[T，2T]上的解”，并證明對(duì)任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦函數(shù)的周期定義，判斷cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；
（2）根據(jù)f（x）的值域?yàn)镽，便可得到存在x₀，使得f（x₀）=c，而根據(jù)f（x）在R上單調(diào)遞增即可說明x₀∈[a，b]，從而完成證明；
（3）只需證明u₀+T為方程cosf（x）=1在區(qū)間[T，2T]上的解得出u₀為方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否為方程的解，帶入方程，使方程成立便是方程的解．證明對(duì)任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可討論x=0，x=T，x∈（0，T）三種情況：x=0時(shí)是顯然成立的；x=T時(shí)，可得出cosf（2T）=1，從而得到f（2T）=2k₁π，k₁∈Z，根據(jù)f（x）單調(diào)遞增便能得到k₁＞2，然后根據(jù)f（x）的單調(diào)性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的個(gè)數(shù)的情況說明k₁=3，和k₁≥5是不存在的，而k₁=4時(shí)結(jié)論成立，這便說明x=T時(shí)結(jié)論成立；而對(duì)于x∈（0，T）時(shí)，通過考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），綜合以上的三種情況，最后得出結(jié)論即可．

解答 解：（1）g（x）=x+sin$\frac{x}{3}$；
∴$cosg（x+6π）=cos（x+6π+sin\frac{x+6π}{3}）$=$cos（x+sin\frac{x}{3}）$=cosg（x）
∴g（x）是以6π為周期的余弦周期函數(shù)；
（2）∵f（x）的值域?yàn)镽；
∴存在x₀，使f（x₀）=c；
又c∈[f（a），f（b）]；
∴f（a）≤f（x₀）≤f（b），而f（x）為增函數(shù)；
∴a≤x₀≤b；
即存在x₀∈[a，b]，使f（x₀）=c；
（3）證明：若u₀+T為方程cosf（x）=1在區(qū)間[T，2T]上的解；
則：cosf（u₀+T）=1，T≤u₀+T≤2T；
∴cosf（u₀）=1，且0≤u₀≤T；
∴u₀為方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；
∴“u₀為方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分條件是“u₀+T為方程cosf（x）=1在區(qū)間[T，2T]上的解”；下面證明對(duì)任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：
①當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，∴顯然成立；
②當(dāng)x=T時(shí)，cosf（2T）=cosf（T）=1；
∴f（2T）=2k₁π，（k₁∈Z），f（T）=4π，且2k₁π＞4π，∴k₁＞2；
1）若k₁=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x₀∈（0，T），使f（x₀）=2π；
cosf（x₀+T）=cosf（x₀）=1⇒f（x₀+T）=2k₂π，k₂∈Z；
∴f（T）＜f（x₀+T）＜f（2T）；
∴4π＜2k₂π＜6π；
∴2＜k₂＜3，無解；
2）若k₁≥5，f（2T）≥10π，則存在T＜x₁＜x₂＜2T，使得f（x₁）=6π，f（x₂）=8π；
則T，x₁，x₂，2T為cosf（x）=1在[T，2T]上的4個(gè)解；
但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3個(gè)解，矛盾；
3）當(dāng)k₁=4時(shí)，f（2T）=8π=f（T）+f（T），結(jié)論成立；
③當(dāng)x∈（0，T）時(shí)，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；
設(shè)其解為f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），（x₁＜x₂＜…＜x_n）；
則f（x₁+T），f（x₂+T），…，f（x_n+T）為方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；
又f（x+T）∈（4π，8π）；
而f（x₁）+4π，f（x₂）+4π，…，f（x_n）+4π∈（4π，8π）為方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；
∴f（x_i+T）=f（x_i）+4π=f（x_i）+f（T）；
∴綜上對(duì)任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)余弦周期函數(shù)定義的理解，充分條件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及構(gòu)造方程解題的方法，在證明最后一問時(shí)能運(yùn)用第二問的結(jié)論．