Question

6．（1）在△ABC中，∠B為銳角，且sinA+sinC=psinB，ac=$\frac{1}{4}$b²，求p的取值范圍；
（2）在△ABC中，∠B為銳角，且sinA+sinC=psinB，ac=b²，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由sinA+sinC=psinB，由正弦定理可得：a+c=pb．由∠B為銳角，可得0＜cosB＜1．由余弦定理可得：b²=p²b²-$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}^{2}$cosB，化為p²=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}cosB$，即可得出．
（2）類比（1）即可得出．

解答 解：（1）∵sinA+sinC=psinB，∴由正弦定理可得：a+c=pb，
∵∠B為銳角，∴0＜cosB＜1．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}^{2}$cosB，
化為p²=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}cosB$，
∴$\frac{3}{2}＜{p}^{2}$＜2，p為正數(shù)．
解得$\frac{\sqrt{6}}{2}＜p＜\sqrt{2}$
∴p的取值范圍是$（\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}）$．
（2）∵sinA+sinC=psinB，∴由正弦定理可得：a+c=pb，∵∠B為銳角，∴0＜cosB＜1．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-2b²-2b²cosB，
化為p²=3+2cosB，∴3＜p²＜5，p為正數(shù)．
解得$\sqrt{5}$＞p$＞\sqrt{3}$．
∴p的取值范圍是$（\sqrt{3}，\sqrt{5}）$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、配方法、不等式的性質(zhì)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．