Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}的第二項(xiàng)為8，前10項(xiàng)和為185．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}通項(xiàng)滿足b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$，試求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，列方程，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由已知得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=8}\\{{S}_{10}=185}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=8}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=185}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=3}\end{array}\right.$，
等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n+2；              
（2）b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$=3•2ⁿ+2，
前n項(xiàng)的和由分組求和可得S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（3•2+2）+（3•2²+2）+…+（3•2ⁿ+2），
=3（2+2²+…+2ⁿ）+2n=3•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2n
=6（2ⁿ-1）+2n．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．