Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=

(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)ex(x≤1) e•f(x)                  (x＞1)

 （e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是否存在a，使g（x）在[a，-a]上是減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求出f′（x）=0得到函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，討論a的大小得到導(dǎo)函數(shù)的大小即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）存在a，令h（x））=（-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a）e^x（x∈R），求出導(dǎo)函數(shù)，然后再令m（x）=-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²（x∈R），討論g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)f（x）在[1，-a]上為減函數(shù)，h（x）在[a，1]上為減函數(shù)，且h（1）≥e•f（1）得到三個(gè)關(guān)于a范圍的式子，求出解集即可得到a的范圍．

解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）=-

a

x2

+1+

a-1

x

=

(x+a)(x-1)

x2

，
①若-1＜a＜0，則當(dāng)0＜x＜-a時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)-a＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．故f（x）分別在（0，-a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，1）上單調(diào)遞減．
②若a＜-1，仿①可得f（x）分別在（0，1），（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，-a）上單調(diào)遞減；
（2）存在a，使g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)．事實(shí)上，設(shè)h（x）=（-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a）e^x（x∈R），則h′（x）=[-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²]e^x
再設(shè)m（x）=-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²（x∈R），
則g（x）在[a，-a]上單調(diào)遞減時(shí)，h（x）必在[a，0]上單調(diào)遞減所以h′（a）≤0，由于e^x＞0，
因此g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)f（x）在[1，-a]上為減函數(shù)，h（x）在[a，1]上為減函數(shù)，且h（1）≥e•f（1）．由（1）知，當(dāng)a≤-2①時(shí)，f（x）在[1，-a]上為減函數(shù)．又h（1）≥e•f（1）?4a²+13a+3≤0?-3≤a≤-

1

4

②
不難知道，?x∈[a，1]，h′（x）≤0??x∈[a，1]，m（x）≤0，因m′（x）=-6x²+6（a-2）x+12a=-6（x+2）（x-a），令m′（x）=0，則x=a，或x=-2．而a≤-2，于是
（p）當(dāng)a＜-2時(shí)，若a＜x＜-2，則m′（x）＞0；若-2＜x＜1，則m′（x）＜0．因而m（x）在（a，-2）上單調(diào)遞增，在
（-2，1）上單調(diào)遞減．
（q）當(dāng)a=-2時(shí)，m′（x）≤0，m（x）在（-2，1）上單調(diào)遞減．
綜合（p）（q）知，當(dāng)a≤-2時(shí)，m（x）在[a，1]上的最大值為m（-2）=-4a²-12a-8．所以?x∈[a，1]，m（x）≤0
?m（-2）≤0?-4a²-12a-8≤0?a≤-2③，
又對(duì)x∈[a，1]，m（x）=0只有當(dāng)a=-2時(shí)在x=-2取得，亦即h′（x）=0只有當(dāng)a=-2時(shí)在x=-2取得．因此，當(dāng)a≤-2時(shí)，h（x）在[a，1]上為減函數(shù)．
從而有①，②，③知，-3≤a≤-2
綜上所述，存在a，使g（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，且a的取值范圍為[-3，-2]．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的能力．