Question

【理科生做】已知圓E：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明不論m取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；
（2）已知AC、BD為圓C的兩條相互垂直的弦，垂足為M（3，1），求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）把直線l的方程變形后，根據(jù)直線l恒過定點(diǎn)，得到關(guān)于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線l恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此點(diǎn)到圓心的距離d，發(fā)現(xiàn)d小于圓的半徑，得到此點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；
（2）設(shè)圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂²=8，代入面積公式S=

1

2

×AC×BD，使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值．

解答：解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直線l恒過定點(diǎn)，
又

2x+y=7  x+y=4

，
解得

x=3 y=1

∴直線l恒過定點(diǎn)A（3，1），
且（3-1）²+（1-2）²=5＜25⇒A（3，1）必在圓內(nèi)，
故直線l與圓恒有兩交點(diǎn)．
（2）設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁，d₂．
則d₁²+d₂²═OM²=（

(3-1)2+(1-2)2

）²=（

5

）²=5．
四邊形ABCD的面積為：
S=

1

2

×|AC|×|BD|=

1

2

×2

25 -d 2 1

×2

25 -d 2 2

=2

25 -d 2 1

•

25 -d 2 2

≤50-（d₁²+d₂²）=45．
當(dāng)且僅當(dāng)d₁²=d₂²時(shí)取等號，
四邊形ABCD的面積的最大值為：45．

點(diǎn)評：此題直線與圓相交的性質(zhì)，恒過定點(diǎn)的直線方程以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．第一問的關(guān)鍵是求出直線l恒過的A點(diǎn)坐標(biāo)，判定A在圓內(nèi)；第二問考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)注意對角線垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．